8.2.1.1 Вынужденные колебания упругих систем


Вынужденные колебания упругих систем могут вызываться действием приложенных к ним периодических сил (рис. 57, а) или действием на их основание возмущающих колебаний (рис. 57, б).

Схема к разложению центробежной силы инерции на составляющие

Периодическими называются такие силы, величина или направление которых изменяются во времени по определенному закону. Наиболее простым примером периодической силы (рис. 58) является центробежная сила инерции, возникающая при равномерном вращении тела около неподвижной оси:

 

где m — масса тела;
r — расстояние от его центра тяжести до оси вращения;
ω — угловая скорость вращения тела, равная 2πn / 60 ;
n — число оборотов в минуту.

Эта сила постоянна по величине и изменяется по направлению; угол ее поворота

 f_059_1

где t — время, истекшее с того момента, когда угол φ равнялся нулю.

При расчете на действие таких сил их раскладывают на составляющие (рис. 59):

 f_060

График изменения составляющих силы Р в зависимости от угла поворота приведен в табл. 43. Из него видно, что изменение сил Pz и Px представляет собой периодический процесс с частотой ω. Эта частота называется частотой возмущающей силы; численно она равна угловой скорости вращения тела.

Составляющие силы, угол поворота

Если на упругую систему с массой m и жесткостью K действует периодическая возмущающая сила Р sin ωt или Р cos ωt , то возникают вынужденные колебания системы. Они имеют ту же частоту ω, что и возмущающая сила. Величина их амплитуды A не равна статической деформации Aст, которая возникла бы при статическом действии этой силы.

Отношение

 f_060_1

называется коэффициентом динамичности.

Для системы с одной степенью свободы

 f_061

При ω = 0 и η = 1 сила оказывает на систему статическое воздействие; при ω = λ и η = ∞ возникает явление резонанса; при ω >> λ и η < 1 амплитуда вынужденных колебаний уменьшается по сравнению со статической деформацией. Если значение ω очень велико по сравнению с λ, то масса m практически неподвижна, а величина η будет иметь отрицательное значение. Физический смысл этого явления заключается в том, что при таком соотношении частот направление перемещения противоположно направлению силы.

Это не имеет практического значения и при расчете фундаментов на колебания знаком при η следует пренебрегать, что и сделано на графике рис. 60 (а).

 а - при отсутствии демпфирования, б - при учёте демпфирования